Зад P1.15.61.2020.3.2 Докажете дека постои позитивна константа c за која важи следното тврдење:

Нека n > 1 е цел број и S е множество од n точки во рамнината такви што растојанието меѓу секои две различни точки од S е барем 1.  Тогаш следува дека постои права ℓ која го раздвојува множеството S таква што растојанието од било која точка од S до ℓ е барем cn^−1/3.

(Велиме дека права ℓ раздвојува множество точки S доколку некоја отсечка чии краеви се во S е пресечена од правата ℓ.)

Забелешка. Послаб резултат каде cn^−1/3 е заменето со cn^−α може да се вреднува зависно од вредноста на константата α > 1/3.

Prob P1.15.61.2020.3.2  Prove that there exists a positive constant c such that the following statement is true:
Consider an integer n > 1, and a set S of n points in the plane such that the distance between any two diff erent points in S is at least 1. It follows that there is a line ℓ separating S such that the distance from any point of S to ℓ is at least cn^{− 1/3} .
(A line ℓ separates a set of points S if some segment joining two points in S crosses ℓ.)
Note. Weaker results with cn^{− 1/3} replaced by cn^{− α} may be awarded points depending on the value of the constant α > 1/3.